Немного теории чисел
Делимость и деление с остатком
Латинскими буквами обозначаются натуральные числа.
Число $a$ делится на число $b$, если существует такое $k$, что $a=kb$. Обозначение: $b|a$. В этом случае $b$ называется делителем числа $a$.
1. Какие из следующих удтверждений верны для любых $n$, $a$, $b$?
a) $2|(n^2-n)$;
б) $4|(n^4-n)$;
в) $6|(n^3-n)$;
г) $3$ не делит $(n^2+1)$;
д) если $c|a$ и $c|b$, то $c|(a+b)$;
е) если $b|a$, то $bc|ac$ для любого $c$;
ё) если $bc|ac$ для некоторого $c$, то $b|a$.
2. a) Сформулируйте и докажите признаки делимости на 3 и 9.
Указание. $5678=5\cdot 10^3+6\cdot 10^2+7\cdot 10^1+8\cdot 10^0$.
б) Делится ли число 11...1 из 1993 единиц на 111111?
в) Число 11...1 (2001 единица) делится на 37.
Простые числа
Натуральное число $p>1$ называется простым, если не существует такого натурального числа $1\,$<$\,k\,$<$\,p$, что $k|p$. Если такое $k$ существует, то число $p$ называется составным. Первые простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...
3. Найдите все такие $p$, что $p$, $p+2$ и $p+4$ простые.
4. Простых чисел бесконечно много.
5. Как получить таблицу простых чисел от 2 до 200?
франшиза в тюмени
Указание. Докажите сначала, что если $n$ не делится ни на одно из чисел от 2 до $\sqrt n$, то оно является простым.
6. Пусть $p>3$ — простое число. Докажите, что $24|(p^2-1)$.
Каноническое разложение
Примем без доказательства следующий факт: любое натуральное $n>1$ раскладывается в произведение простых чисел, причём такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей.
Каноническое разложение числа — это запись следующего вида: $525=3\cdot 5^2\cdot 7$.
7. Разложите на множители числа: а) 16080; б) 101673; в) 479.
8. Пусть $n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot ...\cdot p_n^{a_n}$ — каноническое разложение. Найдите:
а) количество $\tau(n)$ натуральных делителей числа $n$;
б) сумму $\sigma(n)$ натуральных делителей числа $n$.
Указание. Решите эту задачу сначала для числа 525.
9. У натурального числа $n$ ровно 6 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 3500. Найти $n$.
Винегрет
10. Сколько делителей у числа 10296? А у числа 13876500?
11. При каких $n$ число $2^n-1$ делится на 7?
12. Докажите, что число, в котором три единицы и несколько нулей, не может быть квадратом.Горизонтальные жалюзи, стали отправной точькой в эволюции всех форм жалюзи.
13. Шестизначное число делится на 7. Докажите, что, если последнюю его цифру переставить в начало, то полученное число тоже будет делиться на 7.
14. Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, — точный квадрат.
15. Числа $a$ и $b$ таковы, что $56a=65b$. Докажите, что $a+b$ — составное число.
16. Известно, что $a$ и $b$ при делении на 18 дают остатки 7 и 17 соответственно. Что можно сказать об остатках от деления $a+b$ и $a\cdot b$ на 18?
